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程序代寫案例-SS 2021
時間:2021-06-12
Einfu¨hrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die induktive Statistik Hausu¨bung 2
Prof. Dr. Helmut Ku¨chenhoff,
Dr. Andre′ Klima, Hannah Blocher M.Sc., Sarah Musiol B.Sc. SS 2021
Aufgabe 1 14 Punkte
Wa¨hrend der WM 2006 wurde die Anzahl der Herzinfarkte wa¨hrend der deutschen Spielzeiten
(drei Stunden nach Spielbeginn) erfasst und dokumentiert. Insgesamt wurden u¨ber alle deutschen
Spielzeiten 400 Fa¨lle beobachtet. Dabei wird die Anzahl an Herzinfarkten bei einem beliebigem
Spiel der deutschen Nationalmannschaft wa¨hrend der WM 2006 als X bezeichnet. Zur Pla-
nung der Kapazita¨ten in Mu¨nchen bei der Europameisterschaft 2021 ist von Interesse, wie viele
Rettungseinsa¨tze aufgrund von Herzinfarkten innerhalb von 180 Minuten nach Spielbeginn zu
erwarten sind. Y bezeichnet die Zeitspanne zwischen zwei Rettungseinsa¨tzen aufgrund von Herz-
infarkten wa¨hrend der oben definierten Spielzeit der deutschen Nationalmannschaft. (Hinweis:
Die deutsche Nationalmannschaft hatte acht Spiele wa¨hrend der WM 2006 absolviert.)
(Quelle: http://www.nejm.org/doi/pdf/10.1056/NEJMoa0707427?articleTools=true)
Alle Teilaufgaben beziehen sich auf die Spiele der deutschen Nationalmannschaft und die dazu-
geho¨rige Spielzeit.
(a) Wie gro? ist die Wahrscheinlichkeit, dass wa¨hrend eines Spiels der deutschen National-
mannschaft genau 20 Herzinfarkte beobachtet werden? Geben Sie an und begru¨nden Sie
welche Verteilung Sie hier annehmen. Spezifizieren Sie au?erdem den/die zugeho¨rigen Ver-
teilungsparameter.
Lo¨sung:
X: Anzahl an Herzinfarkten wa¨hrend einem Spiel der deutschen Nationalmannschaft
X beschreibt die Anzahl von zufa¨lligen Ereignissen (diskret) innerhalb eines festgelegten
Zeitintervalls.
X ~ Po(λ = 50)
λ = 4008 = 50
P (X = 20) =
λx
x!
exp(?λ)
=
5020
20!
exp(?50)
= 0
Die Wahrscheinlichkeit, dass wa¨hrend einem Spiel der deutschen Nationalmannschaft ge-
nau 20 Herzinfarkte auftreten, betra¨gt 0 %.
(b) Was ist die erwartete Wartezeit zwischen zwei Herzinfarkten (in Stunden)? Geben Sie
an und begru¨nden Sie welche Verteilung Sie hier annehmen. Spezifizieren Sie au?erdem
den/die zugeho¨rigen Vertelungsparameter.
Lo¨sung:
Y : Zeitspanne zwischen dem Auftreten von zwei Herzinfarkten
Y beschreibt die Wartezeit zwischen zwei poisson-verteilten Ereignissen.
1
Y ~ Exp(λ = 1.667)
λ = 4008?3 =
400
8?3 = 16.667
E(Y ) = 1λ =
1
16.667 = 0.06
Alternativ:
aus a) λ = 50
E(Y ) = 150 · 3 = 0.06
Die erwartete Wartezeit zwischen zwei Herzinfarkten betra¨gt 0.06 Stunden, das entspricht
3.6 Minuten.
(c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach einem Herzinfarkt innerhalb der na¨chsten
3 Minuten der Na¨chste auftritt?
Lo¨sung:
P (Y ≤ 3
60
) = P (Y ≤ 1
20
) = F (
1
20
)
= 1? exp(?λy) = 1? exp(?λ 1
20
)
= 0.565409 = 0.565
Die Wahrscheinlichkeit, dass der na¨chste Herzinfarkt innerhalb der na¨chsten 3 Minuten
auftritt, liegt bei 56.541%.
(d) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zeit zwischen zwei Herzinfarkten exakt (un-
gerundet) 3 Minuten betra¨gt? (Achten Sie explizit auf eine nachvollziehbare Lo¨sung!)
Lo¨sung:
P (Y =
1
20
) = 0
Begru¨ndung: Fu¨r z ∈ R ist die Punktwahrscheinlichkeit P (Y = z) fu¨r eine stetige Zufall-
variable Y immer gleich 0. (
∫ z
z f(y)dy = 0)
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zeit zwischen zwei Herzinfarkten exakt (ungerundet) 3
Minuten betra¨gt, ist 0%.
2
Aufgabe 2 11 Punkte
Betrachten Sie eine Zufallsvariable X mit folgender Dichte
f(x) =
{
λ exp(?λx+ c), x ≥ 1
0, sonst
, wobei λ ∈ R>0.
(a) Definieren Sie den Tra¨ger der oben genannten Dichte.
Lo¨sung:
Tra¨ger dieser Dichte ist: {x ∈ R : f(x) > 0} = {x ∈ R : x ≥ 1} = [1;∞)
(b) Bestimmen Sie die Konstante c so, dass f(x) eine Dichte ist.
Lo¨sung:
Eigenschaften einer Dichte: Eine Funktion muss den folgenden beiden Eigenschaften genu¨gen,
um eine Dichte zu sein.
(i) f(x) ≥ 0
Beweis: λ ∈ R>0 und exp : R 7→ R>0 ist positiv, stetig, streng monoton wachsend
(ii)
∫∞
?∞ f(x)dx = 1
Beweis: ∫ ∞
?∞
f(x)dx =
∫ 1
?∞
f(x)dx+
∫ ∞
1
f(x)dx
=
∫ ∞
1
f(x)dx =
∫ ∞
1
λ exp(?λx+ c)dx
= [? exp(?λx+ c)]∞1
= exp(?λ+ c) != 1
mit limx→?∞ exp(x) = 0.
Somit ist fu¨r c = λ diese Eigenschaft erfu¨llt.
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert von X in Abha¨ngigkeit von λ.
Lo¨sung:
E(X) =
∫ ∞
?∞
x · f(x)dx =
∫ 1
?∞
x · f(x)dx+
∫ ∞
1
x · f(x)dx
=
∫ ∞
1
x · λ exp(?λx+ c)dx
=
[
?x exp(?λx+ c)? 1
λ
exp(?λx+ c)
]∞
1
= exp(?λ+ c) + 1
λ
exp(?λ+ c) = exp(?λ+ c)(1 + 1
λ
)
Fu¨r c = λ:
3
E(X) = 1 +
1
λ
Alternativ: Nutzung der Geda¨chtnislosigkeit der Exponential-Verteilung.
U¨ber Partielle Integration:
f(x) = ? 1
λ
exp(?λx) f ′(x) = exp(?λx)
g(x) = x g′(x) =1
mit
∫ b
a f
′(x) · g(x)dx = [f(x) · g(x)]ba ?
∫ b
a f(x) · g′(x)dx.
E(X) = λ · exp(λ)
∫ ∞
1
x · exp(?λx)dx
= λ · exp(λ) ·
([
? 1
λ
x exp(?λx)
]∞
1
?
∫ ∞
1
? 1
λ
exp(?λx)dx
)
= λ · exp(λ) ·
([
? 1
λ
x exp(?λx)? 1
λ2
exp(?λx)
]∞
1
)
= λ · exp(λ) ·
(
1
λ
exp(?λ) + 1
λ2
exp(?λ)
)
= 1 +
1
λ
mit limx→?∞ exp(x) = 0.
(d) Ist die Hazardrate dieser Dichte konstant?
Lo¨sung:
JA, da es sich um eine trunkierte Exponential-Verteilung handelt und diese eine konstante
Hazardrate besitzt.
Alternativ:
λ(x) =
f(x)
S(x)
=
f(x)
1? F (x)
=
λ exp(?λx+ λ)
1? (1? exp(?λx+ λ))
=
λ exp(?λx+ λ)
exp(?λx+ λ)
= λ
4
Aufgabe 3 5 Punkte
Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Begru¨nden Sie Ihre Antwort in maximal 2
Sa¨tzen.
(a) Der Tra¨ger der Binomial-Verteilung ist R. (2 Punkte)
Lo¨sung: FALSCH
Der Tra¨ger der Binomial-Verteilung nimmt keine negativen Werte an.
Es genu¨gt ein Gegenbeispiel bei solchen Aufgabenstellungen.
Gegenbeispiel: ?1.5 ist nicht mo¨glich, da Erfolge nur positive, ganze Zahlen sein du¨rfen
(N+0 ).
(b) Je ho¨her die Varianz, desto wahrscheinlicher ist es in der Regel extremere Werte zu beob-
achten. (3 Punkte)
Lo¨sung: FALSCH
Diese Aussage gilt fu¨r Spezialfa¨lle, wie z.B. gleicher Verteilungstyp und gleicher Erwar-
tungswert, aber nicht im Vergleich von zwei nicht weiter bestimmten Verteilungen.
Gegenbeispiel: Eine Gleichverteilung auf [a,b] vs. irgendeine andere Verteilung mit unend-
lichen Tra¨ger (kleiner a, gro¨?er b).
Dann hat immer die Verteilung mit der kleinen Varianz die ho¨here Wahrscheinlichkeit fu¨r
extreme Werte.
Es lassen sich fu¨r beide Fa¨lle Beispiele finden, mit ada¨quater und kompletter Begru¨ndung
mit der Darlegung notwendiger Annahmen wird auch ein RICHTIG akzeptiert.
5

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